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高等代数-线性代数  

2007-03-31 09:28:33|  分类: 知识 |  标签: |举报 |字号 订阅

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高等代数可以认为处理的是有限维线性空间的理论.如果严格一点, 关于线性空间的理论应该叫线性代数, 再加上一点多项式理论(就是可以完完 全全算做代数的内容的)就叫高等代数了. 这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra, 就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国 教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的 Higher Algebra.

现在用的课本好象是北大的"高等代数"(第二版?). 用外校的课本在基础课里面是不常见的. 这本书可以说是四平八稳,基本上该讲的都讲了.但是你要说它有什么地方讲的特别好,恐怕说不出来.

值得注意的是95-96学年度,北大现在的校党委组织部长王杰老师(段学复先生的弟子)给北大数学科学学院95级1班开课时曾经写过一本补充材料,把空 间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到 的话翻印出来是件很好的事情(我的那 本舒五昌老师给96开课的时候送给他 了,估计是找不到了). 好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的还是第一版.第二版在书店里似乎看见过.

从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一 个矩阵的表示.因此这门课的确是可以 建立在矩阵论上的. 而且如果要和数值搭界的话还必须这么做. 复旦以前有两本课本就是这么做的.

1.蒋尔雄,吴景琨等
"线性代数"
这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比数学专业相应的课程要高的. 因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.我个人以为还是比较有意思的.理图里有.

2.屠伯埙等
"高等代数"
这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里可能可以买到翻印的. 这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面的习题做完对于理解矩阵的各种各样的性质是非常有益的. 当然这不是很容易的: 据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话 可以来找我."有此可见一斑. 如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,那么下面这本应该说是比较适当的.

3.屠伯埙等
"线性代数-方法导引"
这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也更"实际"一些.值得一做.


另外,讲到矩阵论.就必须提到
4.甘特玛赫尔"矩阵论"
我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者 是柯召先生. 在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan 标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩 阵该怎么求?请看"矩阵论". 这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣. 总书库里有.图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边.

5.许以超
"线性代数和矩阵论"
虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的, 现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还 是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于 空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.

6.华罗庚
"高等数学引论"
华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在 矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你 只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生. 可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的 (不记得是不是在这本书里面了): n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个 把一组标准基映到1的反对称线性函数. 这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.

高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如
7.贾柯勃逊(N.Jacobson)
Lectures on Abstract Algebra ,II:Linear Algebra GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31
("抽象代数学"第二卷:线性代数)

这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了. 此书英文版总书库里有,中文版(字体未完全简化)理图里有.

8.Greub
Linear Algebra(GTM23)
这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是值得一读的.

还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:
9.丘维声
"高等代数"(上,下)
北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些 几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.

10.李炯生,查建国
"线性代数"
这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些内容的处理在国内可能书属于相当先进的
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