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其实,太重情非我所愿.是火总是要熄灭的,和风风火火后的幻灭相比,我情愿选择小溪一样绵绵不绝的平和.

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数学思想方法论  

2007-04-05 11:15:18|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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                                 数学思想方法论

数学是一门逻辑性很强的的科学,它是各门理工类科学的基础性的学科,各届数学家不断提出着新的问题,而这些问题的不断解决推动着数学学科的向前发展,本人作为一名数学专业的学生对解决数学问题的思维模式做了一点探讨,愿我的思想能对别的数学爱好者起到一点用处。

本人认为数学问题的解决过程,实际上就是一个“条件和性质”相互斗争和转化的曲折过程。这里的条件就是指人们脑中已有的或别人提供给你的,总的来说也就是你手头上拥有的关于你所要解决的问题(即你的目标)所涉及的目标量的信息,它包括了前人所做出的性质和定理,也包括你大脑中的常识。而谈到信息,必然有信息的载体,正如语言是人的思想的载体一样,我们称这个条件的信息的载体为条件量,我们解题的过程也就是通过条件量信息(一般指其所具有的性质)来获得目标量的尽可能多的信息,目标量信息,我们获得的越多,我们离要达到的问题目标越近,这是一个很好的思想。面对着多种多样的条件信息,我们做些什么?如果我们在心中已经明确自己准备要达到的目标,我们可以根据要获得的目标量信息(如性质)来处理这些载有条件信息的条件量,使得目标量显现它所具有的性质,而这些性质一旦显现,我们的证明也就结束了。简单的图示表示为

条件量

思维加工处理

目标量

信息

信息

                                                                    

                                 

有些时候从条件到目标的正向过程的确有些 困难,于是数学家

于是数学家们又创造了“反证法,逆否命题法”即目标到条件的过程。这是一个很好的思想,很好的体现了哲学中的“矛盾”思想,任何一个矛盾存在对立统一的两方,一方的转化或消失,矛盾便不存在。“反面考证法”在我们探索数学量的性质过程中,应当引起我们高度,正面想不出,从事情的反面考虑,就是这个问题。

在上一个自然段中我提到了一个很重要的数学思想,“反面考证”,其实还有一些很重要的方法,“推向极限法”、归纳思想、演绎思想和数行结合思想,也是很好的数学思想方法。所谓推向极限就是将问题推向极端,使其所具有的性质显化这也是我们日常生活中常用的一中方法。而归纳思想就是一个从特殊到一般的过程,我们一般来讲,特殊的问题是具体的东西,而一般的东西具有很大的抽象性,面对着具有一般性的问题束手无策时,考虑其在条件范围内较简单的特殊的问题即条件范围内的局部问题,将其解决,然后在它的基础上进一步拓延,不断的扩大所要考虑的范围,最终使问题得以解决,我们在用这个方法时,最好遵循自然演化的一个规律“从简单到复杂”这是一个很重要但又经常引起人们忽视的一个原则。我们再谈一下“逻辑演绎思想”,它却是一个与之相反的过程,一个具有特殊性的问题我们不好解决时,把它放到在形式和内容上具有与之相同(或部分相同)的集合(或领域)当中去,通过整个集合性质的考察来确定其性质,数学分析当中处理具备一定形式的特殊值问题时常用此法,如考察F2)可先考察FX),将2改为X。另外,数行结合思想是很令人赞赏的的思想反是能用图形表示的问题,我们就用图形去表示,用我们的形象思维去解决问题。

下面我准备谈一谈几个数学思维方面的问题。但在谈这个问题前,我想提醒大家注意几个问题。(1)我们在考察条件量或目标量性质时,应不要忘记“定义法”,其实定义才是“源”的问题,“追本溯源”有时是究其性质的最好的方法,一切的性质定理都是从定义得出的(2)反正的过程,将目标的反面作为条件,推出与条件中的某一相反的性质,在这里最好先找出你要制造的矛盾点(3)放缩时,应先找出可放缩的点(4)存在参数未定元的问题,注意对参数的充分讨论(5)在进入某一个步骤之前,先考虑这个步骤的可行性,例如求极限先考虑极限的存在性;交换积分顺序时先考虑积分的可交换性等(6)举例问题,坚持“例子为性质服务”的观点,从最简单的例子做起,在这里我充分认定分段函数是比较好的函数,它体现了分类讨论的思想。接下来我想正式谈一下自己的数学思维过程感悟。我认为数学问题解题过程中,有几个比较重要的过程。大体总结为六个词组,“变形”、“替换”、“分解”、“辅助”、“模型”。在做这五步工作之前,要做的准备工作是(1)列出所有的条件量(符号化表示),以及通过观察法或已知定理得出的一切性质(2)列出目标量及其所需要的性质(3)列出各个量相互过渡所需要的运算(4)看各个量之间能否建立联系,尤其是等式关系,这是一种理想的关系,对以上4条坚持的原则是能列则列,能建则建如果以上无效,可做如下工作:

1 变形:在这个过程当中,我们坚持“消除差异原则”,即通过变形,使其在形式上相同点尽可能的多,相同点越多,问题越易解决。坚持能变则变策略

2 简化、替换:(1)从繁到简,找出哪个地方烦琐了,即找出繁琐点,将其进行处理,进行简化(2)从未知到已知,弄清已知什么,未知是什么,所谓“以不变应万变”就是把万变的东西转化到已知的理论体系当中去(3)无限到有限的转变,将无限的问题转化到有限的问题上来,达到简化,可利用替换X=Tgt,将无穷区间变为有限区间问题。(4)由多到少的转变。可将多变量组成的整体作为一个变量来处理达到简化(5)由高到低的转化。例如高次数向低次数转化,能化到零次最好。(6)不同到相同的转化

3 分解:如果问题不好处理时可将数学量分为多个分量的和或积,然后对多个分量加以研究,最终达到问题解决,我们称之为和式分解和因式分解。在这个过程当中坚持由高到低,由整体到局部,逐步逐步的分解,不可跨度太大。

4 辅助:即构造辅助量,尽可能地利用目标量,构造出目标量所需性质在辅助量显化出来所需要的的条件,充分利用已知条件构造。

5 模型:即知识点模型。看题中的数学量是否与已有定理,公式,习题中的量在结构形式上有相同之处,若相同,将其变成定理、公式中的的量,得解。

最后,我顺便提一点我们在这个解题过程中,要有大胆尝试感想感做的精神,但又必须具有谨慎的态度,即做到“走一步,看一步”,即解题过程每进行一步,回头看几步,研究解题过程所出现的新情况,以便更好的接近目标

                                      

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