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在系统论视角下认识华罗庚的数学学习体验  

2007-05-25 12:23:38|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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在系统论视角下认识华罗庚的数学学习体验

作者       星夜飞狐         
摘要:华罗庚先生是现代数学研究与学习的成功者,其数学学习体验成为具有典型意义的个体原型.系
统科学方法是按照事物本身的系统性,把研究对象放在系统的形式中进行考察的一先生的数学学习体验
具有鲜明的特色和重要研究价值.运用系统科学方法和认知心理学理论,研究认形态等是十分必要的.
关键词:系统;华罗庚;数学教育;数学学习
中图分类号:G421 文献标识码:A 文章编号:1004–9894(2004)03–0029–05

系统无处不在.有机整体是系统的另一种称谓.“数学本身是一个互相联系的有机整体”[1],华罗庚先生早在20世纪50 年代就认同这一看法.系统科学方法就是按照事物本身的系统性,把研究对象放在系统的形式中进行考察的一种科学方法.在数学中,结构系统分析首先是同集合论、抽象代数和数理逻辑的发展相联系的.在心理学中,J.皮亚杰“发生学认识论”中的有关智力的系统观念亦采用了系统科学方法[2]人脑是多层次、多功能分区的生理—心理系统,是人类学习职的承载体.数学学习实质上是学习者的生理—心理系统对数学科学知识系统的(部分)纳入.华罗庚先生是数学学习的成功者,其学习体验成为一个成功的数学学习个体系统的原型.学习者(主体)以获得数学知识和培养灵活运用数学知识、培养独立开创能力为目的,学习者的兴趣、情感、意志与此目的相联系,由此产生的学习动机激活学习者大脑各项

认知功能,继之以运作,使数学知识为学习者所接受,所获得.这样的学习生理—心理系统称为数学学习心理系统.

华先生的数学学习体验反映在20世纪5080 年代间他发表的关于数学学习的系列文章之中,其中较为典型的篇章是《和青年谈学习》(1962 12 月)《学与识》(1962 12月)等.华罗庚先生通晓系统理论.他说过:“新系统的建立和旧系统的改建和扩充,都必须在最优状态下运行.”[3]华先生的数学学习论述贯彻了系统科学的思想和方法.下面以G 表示一般的数学学习心理系统,G*表示华先生的数学学习原型的(特殊)个体系统.任何一个系统都是较高一级系统的一个要素,而系统的任何一个要素,通常又是较低一级的一个系统.那么,G*的构成要素,即G*的子系统如何呢?再往下一级,G*的次子系统如何呢?如下5 段引文,成为引导我们认识G*要素的标志性文字.华先生说:A1:“在打基础..的同时,还必须注意培养独立思考的...能力.”[3]

A2:“因为我们消化了我们以前念过..的书,再看.另一本

书时,我们脑子里的记忆系统....就会排除那些过去弄懂了的东.....

西.,而只注意新书中自己还没有碰到过的东西.........”[3]

A3:“独立思考....能力也是大学生所亟需培养的.”[3]

A4:“毅力..和耐心..是成功的保证.”[3]

A5:“培养对所学科目的兴趣...”[3]

上述引文中重点号是笔者所加.思考(即思维)、记忆、注意和感知觉(看或听)都属认知心理范畴.它们都是人脑相应区域和感觉器官的功能体现.毅力是意志的表现.耐心是性格的表现.兴趣、情感、意志、性格属非智力心理范畴,亦有相应的大脑功能区域或诸个功能区域联络整合所体现.

“基础”是什么?华先生解释说:“据我看来,要真正打好基础,有两个必经的过程,即‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的过程.‘由薄到厚’是学习、接受的过程,‘由厚到薄’是消化、提炼的过程”.由薄到厚“主要是个接受和记忆的过程”[3].结合引文A2,可以认定,华先生所指基础就是学习者存储在大脑记忆功能区域(即记忆系统)内的全部数学知识.这些知识由于经过学习者的内化过程,具有区别于书本的(或教师课堂讲授的)形态,即内化的具有认知心理共性特征和个性化特征的形态.因此,基础是G*的存储态数学知识子系统.基础与大脑记忆功能区域的关系,可以用计算机存储器件内所存储的信息与存储器件的关系相比照.但这两种关系之间的差异性与相似性同时存在.基础中的数学知识存储是能动的,多形态的.

G*的认知心理(注意、记忆、思考和感知觉)诸项相互联系,其中思考处于突出的重要位置;在非智力心理诸项中,毅力、耐心、兴趣、情感都是不可或缺的、相互联系的.由上分析可见,G*的构成要素(子系统)为:

B1:存储态数学知识子系统(基础);
B2:认知心理子系统;
B3:非智力心理子系统.

B1 作为次一级系统,其构成要素又如何呢?华先生认为,B1 可从质和量两方面来看.在量方面,他说:“关于基础的具体标准,我认为在今天(1955 年,研究生层次的学

C1:初等数学知识层面;
C2:大学数学知识层面;
C3:专业方向及其相关联的一般知识层面.
C1、C2、C3 作为B1 的子系统,同时也成为G*的次子系统.

以下讨论,我们分别用G*,B1、B2、B3,C4、C5、C6、C7、⋯、C11 表示数学学习心理系统、各子系统,各次子系统.(如图1 所示)

几点说明:
(1)在知识获得过程中,B3 通过B2 起间接作用.
(2)对G*及其运行来说,除B1、B2、B3 外,还有其它的影响因素,如学习者的人文知识、教师、教材等,但出于重要性和简约化等方面的考虑,将诸如此类的其它因素归入系统G*的环境范畴,或者说它们构成G*的环境.
(3)直觉、顿悟心理过程属B2 的运行范畴.华先生认为,灵感(即顿悟)是长期地思考的产物.他曾以牛顿顿悟万有引力为例子来说明这一看法.
(4)B1、B2、B3 之间,C4、C5、C6、C7、⋯、C10、C11之间都是相互联系、相对独立的.例如B1 与B2,华先生指出:“培养独立思考能力的第一步,还是打好基础,多做习题,肯动脑筋,深深地了解定理、定律、公式的来龙去脉.”B1 与B2 相辅相成.华罗庚先生将自己体验的数学学习过程,概述为我们称之为数学学习过程的“厚薄说”[3]:“什么叫学深学透?这就是要经过‘由薄到厚’、‘由厚到薄’的过程.首先是‘由薄到厚’.比如学一本书,每个生字都查过字典,每个不懂
的句子都进行过分析,不懂的环节加上了注解,经过这一番工夫之后,觉得懂多了,同时觉得书已经变得更厚了.有人认为这样就算完全读懂了.其实不然.每一章每一节、每一字每一句都懂了,这还不是懂的最后形式......,最后还有一个‘由厚到薄’的过程,必须把已经学过的东西咀嚼、消化,组织........整理..,反复推敲,融会贯通,提炼出关键性的问题.........来,看出了来龙去脉....,抓住了要点..,再和以往学过的比较..,弄清楚究竟添了些什么新内容、新方法.这样以后,就会发现,书,似乎‘由厚变薄’了.经过这样消化后的东西,就容易记忆............,就能够得心应手地运用........”(重点号为笔者所加)
华先生在多篇文章中都描述过“厚薄说”,综合起来,
可概括出子系统B2 的4 种认知行为.这些行为都具有鲜明的目的性,并且也是B2 的主动行为,即B2 的作用对象是学习材料和子系统B1.用N 来表示新知识,4 种认知行为分别是:
D1:N 的接受、记忆行为(或对N 的支解行为);
D2:N 的中心环节提炼行为;
D3:N 与B1 的组织整理、建造结构—关联行为.结构—关联就是华先生所说的“来龙去脉”.
华先生还描述了第4 种认知行为——D4:N 的发现重演行为,作为D1、D2、D3 的增强和补充,是培养数学知识灵活运用、独立开创能力的行为.他说:“所谓‘真懂’⋯⋯包括以下一些内容:必须设身处地地想,在没有这定律(或定理)之前,如果我要发现这一条定律(或定理)是否可能,如果可能,那是经过怎样的实践和思维过程获得的.”[3]B2 的这4 种认知行为的目的、操作、运行时段和作用对象都是有区别的,并且产生N 的3 种不同存储形态.具体如表1 所示,表1 中加重点号的文字都是华先生的语.
     D1、D2、D3、D4 在运行时序的先后上既有严格的一面,亦有不严格的一面,如D2 必在D1 之后,但D4 与D3 孰前孰后都有可能.4 种认知行为的具体操作当不止于表1 所列,亦因人而异.如D1,具体操作还有看和听(感知)、注意、记忆等,又如D2 的具体操作还可以包括撰写学习心得等,D4 的具体操作还可以有依葫芦画瓢式研究或拓广书中的结论,还可以取消定理前提条件中的某项条件或增加某项条件,看一看引致结论发生什么样的改变等.
B2 的4 种认知行为,其加工对象是N 或B1,或者两者兼之.在加工过程中,B1 获得扩充或改建;与此同时,B2的要素C4、C5、C6、C7 的功能亦获得训练和增强,自然地B3 的要素,如C8 等亦有所强.
     为直观说明,有以下“厚薄说”知识获得流程图.(如图2 所示)
    书籍是知识信息的载体,一本书(教程或专著)、一章书、一节书和节内定理、定义、法则等所记录的信息量大小有别,相应于4 个量级,且分别相对形成范围大小有别的4层次知识系统,把一本书、章、节和节内定理、定义、法则等4 个信息量级的数学知识系统都称为数学知识单元.
     华罗庚说:“不消说,在研究证明的时候,更重要的是了解其中的中心环节.....因为对中心环节的了解,有时可以把这证明或这定理显示得又直觉又简单.......同时,真正了解一本书或一章书的中心环节....,对了解全部内容也往往是带有决定性的作用的.不但如此,它还可以帮助记忆⋯⋯记忆更深刻, ......更不易忘掉.....,而逐字逐句的记忆法,如果忘掉一字一句就有极大的可能使全局皆非.”
   数学知识单元的“中心环节之间的关系.........不可不注意⋯⋯学代数中的二次型的时候,就必须和中学里所学的几何圆锥曲线联系起来看”[3].
       “懂”,是华先生陈述学习体验时频繁使用的词汇,字面上指的是了解、知道的意思.在华先生这里,学习者“真懂”某一数学知识单元N,指的是对于N 的接受、记忆,在此基础上进一步消化(加工)以形成“薄”的记忆形态并获得潜在的可利用性.华先生还认为,“懂”具有层次性,并提
出“懂的最后形式”这一概念,相对于此自然地存在“懂的初始形式”——在由薄到厚过程中形成的形式.他说:“每一章每一节、每一字每一句都懂了,这还不是懂的最后形式,最后还有一个‘由厚到薄’的过程.”初始形式是“厚的”,记忆量大;最后形式是初始形式平台之上的“薄的”形式,记忆量小,有时显示得又直觉又简单.为不致引起误解,在这里,我们把“懂的初始形式”称为“懂的初级形式”,“懂的最后形式”称为“懂的高级形式”.“懂”的层次性还表现在华先生如下一段话:“在学习书本上的每一个问题,每一章节的时候,首先应该不只看到书面上,而且还要看到书背后的东西.”[3]结合华先生的其它描述,有理由认为懂的初级形式接近于“书面上”的形式,懂的高级形式是学习者对知识单元消化、加工后形成的“书背后”的形式.
     
“懂”—记忆—编码—存储4 者紧密联系.认知心理学认为,记忆是对信息的编码、存储和提取的过程,是改变信息形态,使它成为适宜于人的记忆形态的过程.编码、存储都有策略性.“适宜于人”所指的适宜性既有人类认知的共性特征又有个性特征.“懂”蕴含记忆,特别是长时记忆;记忆蕴含编码和存储.“懂”的层次性蕴含编码的多重性和存储形态的多样性.这种多样性既体现为同一数学知识单元N 存储是多种形态的,又体现为对同一N 不同学习者之间存储形态的差异.上小节所提D1、D2、D3 这3 种认知行为实质上是对知识单元N的3 重编码活动.3 种行为实现之后,分别形成对同一N 的3 种存储形态,具体如下:
     N 的“存储3 形态”的联系性是明显的.同时,它们之间具有相对独立性,表现为:(1)如果学习者的学习过程只限于“由薄到厚”,则N 的存储只有初级形态.(2)“3形态”的衰减(遗忘)速度不同.随着时间的推移,会出现华先生所说的情况:“现在中学的数学在你们(指与他共事的学生——笔者注)脑子里还剩下多少?不是薄薄的了吗?”[4]此时,中学数学存储的初级形态严重衰减或缺损,而两种高级形态,即中心环节形态和结构——关联形态仍旧鲜明,并且更加简约化,本质化.还应指出,对于有如华罗庚的学习者而言,在经历“由薄到厚”和“由厚到薄”的过程后一段时间之内,对N 的储是“3 形态”并存的.
      知识单元N 的“存储3 形态”都可以有各自的表象代码与语义代码,例如,学习者脑海中N 的中心环节示意图,各知识单元联系框图等就是一种表象代码.“3 形态”亦是个性化的.我们无法准确揣摸华先生对某个N,例如代数中的线性空间概念的“存储3 形态”的样式.此处模拟一种学习者在线性空间定义及其前后章节学习后的“存储3 形态”如下(语义代码表达):
   (1)初级形态:接近于书本所述,语言表达约有三百七十个字(按张禾瑞等编《高等代数》).
(2)中心环节形态:线性空间是集合,其元素间可以进行加法运算,域F 上的数与此集合的元素可进行纯量运算,两种运算满足若干运算律,运算封闭.
(3)结构——关联形态:线性空间与解析几何中的向量空间的关系是一般与特殊的关系.实线性空间中定义了内积就成为欧氏空间.在进一步学习了李代数之后还有如下认识:线性空间中定义了换位运算就成为李代数.事实上,有些学习者对线性空间的运算律的记忆就是通过联想几何空间向量的相关内容而实现的.这是结构——关联形态,记忆——存储作用的表现.
    知识单元N 的存储中心环节形态凸现了N 的本质,扬弃了其非本质的“枝节”.由于各知识单元本质的凸现,各知识单元的联系也就显露出来了.
   
      如果把本科生,研究生所学过的全部教程、专著所包含的所有数学知识作为一个宏观系统(学习客体),把定义中的被定义项、定义项,定理的前提、结论、证明各步骤,法则的步骤、应用举例等各项都作为微观系统,则数学知识单元(即一本书、章、节、节内定理等)就成为宏观与微观之间的中间层次系统.对于系统G 来说,其所涉及的微观子系统数量是巨大的.可以看到,华先生更多地是在中间层次数学知识系统学习上对其体验进行内省描述的.
      中间层次知识系统N 的中心环节,又有更一般化的称谓,就是N 的核.物质系统的核存在现象是常见的.N 的“3 种存储形态”是一种多象存在(或显示)现象.一个学习者对N 的存储若只有初级形态,则此种存储是无核的、联系性不强的存储,其结果是该学习者的B1 存储态数学知识子系统(基础)是无序的,即使有序其有序程度亦是偏低的,B1 的功能亦会降低.
     考察中间层次系统的方法亦为普利高津的耗散结构理论和H. 哈肯的协同论所采用[5].
     结构是指系统内部各个组成要素之间的相对稳定的联系方式、组织秩序及其时空关系的内在表现形式[6].
    B1 存储态数学知识子系统是多层次的系统,各层次的子系统之间的联系方式亦是多样的.
    (1)谱系联系方式.华先生说:“中心环节之间的关系不可不注意.就是能认识到它们之间毫无关联也好.因为这样的结论可以帮助我们作一个初步结论.如果在较高阶段又发现了它们之间是有关联的,那可以帮助我们体会到我们的认识又提高了一步⋯⋯例如,在大学数学系学代数中的二次型的时候,就必须和中学里所学的几何圆锥曲线联系起来看.在学习积分方程对称核的时候,又必须和代数的二次型联系起来看.”[3]
     上述引文中涉及的圆锥曲线、二次型、解析几何、积分方程等诸项知识系统的谱系联系方式如图3 所示.
     (2)塔形联系方式.这就是华先生所说的“学习科学知识有如筑塔,级级上升,每一级都建筑在以下诸级之上”.这是一种宏观及中间层次存储态数学知识系统(级)之间的联系方式.此种方式反映了各知识实体间整体性的、具有认识论意义的联系[7].
      (3)单线或双线贯穿联系方式.单线贯穿就是华先生所说的“需要进一步把全书各部分内容串连起来理解,加以融会贯通”.双线贯穿就是开始学习时用一条线索贯穿,复习时“找另一条线索把旧东西重新贯穿起来.”(华罗庚语)
     
     存储态数学知识子系统(基础)的联系方式还可举出一些.存储是联系中的存储.由此及彼的联想心理现象,与存储态数学知识子系统的各种联系方式密切相关.这些联系方式提供了联想实现的“路径”.
   应该指出,各种联系方式的形成是B2 认知心理子系统运行的产物,是结构——关联认知行为D3 的产物.华先生所说的“作一个初步结论”、“认识又提高一步”即为此意.
    华先生说:“学完一本书(或一篇文章)之后⋯⋯对其中特别重要的结论,必须分析它所依赖的是本书上的哪些知识.很可能一条定律是写在第250 页上的,但实际上所需要的仅仅是其前的散见各处的二三十页.这种分析工作做得愈透彻,在做研究工作运用得愈方便.”[3]
    这是目的性(研究运用)原则与重要性原则的贯彻.重要性原则就是同一层次的诸要素中必定有其重要程度较高者,对此类重要要素予以确认并给予重视.
    独立性原则.华先生认为,独立思考能力是科学研究和创造发现的一项必备才能.最主要的还是要依靠自己,因为教师能指点的总是十分有限的.
    还有最优化原则等,在此不一一列叙.
   华罗庚先生的体验提供了一个具有典型意义的数学学习个体系统原型,其意义特别表现在宏观、中间层次数学知识系统的学习方面.
   人们惊叹于华先生数学研究中极强的直觉能力和与众不同的初等与直接方法,以及对新知识的敏捷且深入的学习领悟功力,“住往能够一个钟头就看完一篇人家十天半月也解不透的文章”(华罗庚语).这一切都来源于华先生个人的数学学习心理系统G*及其子系统B1、B2、B3 的结构合理和功能强大.例如,华先生的B1 存储态数学知识子系统的结构就是浑然一体的,井然有序、脉络清晰的,实现了结构的
优化.结构的优化带来功能的优化.
    在系统论视角下认识华罗庚的数学学习体验,其意义是多方面的,例如,可以从对华先生这样一个数学学习成功个体的分析中,探讨何为数学素质,何为数学知识存储的差异性等问题.
参考文献
[1] 华罗庚.华罗庚科普著作选集[M].上海:上海教育出版社,1984.
[2] [苏]尼·萨多夫斯.一般系统论原理[M].赛泽林,刘伸,王兴成,等译.北京:人民出版社,1984.
[3] 华罗庚.华罗庚科普著作选集[M].上海:上海教育出版社,1984.
[4] 王元.华罗庚[M].南昌:江西教育出版社,1999.
[5] 郭治安,沈小峰.协同论[M].太原:山西太原经济出版社,1991.
[6] 魏宏森,曾国屏.系统论——系统科学哲学[M].北京:清华大学出版社,1995.
[7] 饶鑫光,孟道骥.略论华罗庚的高校数学教学方法与讲解技能[J].数学教育学报,2001,10(4):29.
Research on Prof. HUA Luo-geng’s Study Experience of Mathematics in the Perspective of System Theory
RAO Xin-guang1,MENG Dao-ji2
(1. Department of Mathematics, Hechi College, Guangxi Yizhou 546300, China;
2. Mathematics Science College, Nankai University, Tianjin 300071, China)
Abstract: Prof. HUA Luo-geng was a great modern success in the research of mathematics. His study experience of highermathematics had become a representative individual prototype of learning psychology system. This paper applied the theories ofsystem and cognitive psychology to the research on the essential elements of the system at different levels, on the cognitivebehavior, on the process of knowledge acquisition, on the elementary and high-level form of “know” (a knowledge unit ofmathematics), and on three relevant store statuses of mathematic knowledge. On that basis, this paper discussed the trusses thestructure of mathematic knowledge subsystem (basis) of store status.
Key words: system; HUA Luo-geng; mathematical education; mathematical learning
习者——笔者注)比较容易圆满答复:就是以大学毕业生的专业知识要求自己.但是切不要局限住自己,应当在专业研究的时候逐步扩大眼界,逐步扩大基础,以备在更大的基础上建立起更高的宝塔.”[3]这表明了大学数学知识层面是B1的要素之一.联系到华先生在另一场合下提到要为研究生们写某一专业方向的学习专著,使他们“了解这一专业的一般情况,以及这一专业和其它部分的关联”.还有,华先生一贯认为学好中学数学是学好大学(专业数学的前提.由此,对于研究生层次的学习者,B1 的要素为:
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